"Un mathématicien est celui à qui ce qui suit est aussi évident que deux plus deux égale quatre" -- Lord Kelvin.

1. Commencez par la définition d'une densité de probabilité Pour toute variable aléatoire continue avec une densité f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 par définition. Ce n'est pas un théorème — c'est ce que signifie la densité de probabilité. 2. La distribution normale est définie en utilisant e^{-x^2} La densité normale standard est \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Cette constante \frac{1}{\sqrt{2\pi}} n'est pas arbitraire. Elle est choisie de sorte que la probabilité totale soit égale à 1. Donc automatiquement : \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Multipliez les deux côtés par \sqrt{2\pi} : \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Résumez pour x

L'intégrale gaussienne est "évidente" une fois que vous pensez en termes de probabilité. La distribution normale doit s'intégrer à 1, et sa densité est simplement un e^{-x^2} mis à l'échelle.