"Математик — это тот, для кого следующее так же очевидно, как два плюс два равно четыре" -- Лорд Кельвин.

1. Начните с определения плотности вероятности Для любой непрерывной случайной величины с плотностью f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 по определению. Это не теорема — это то, что означает плотность вероятности. 2. Нормальное распределение определяется с использованием e^{-x^2} Стандартная нормальная плотность равна \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Эта константа \frac{1}{\sqrt{2\pi}} не произвольна. Она выбрана так, чтобы общая вероятность равнялась 1. Таким образом, автоматически: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Умножьте обе стороны на \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Суммируйте для x

Гауссов интеграл становится "очевидным", если думать в терминах вероятности. Нормальное распределение должно интегрироваться в 1, а его плотность — это просто масштабированный e^{-x^2}.