"Um matemático é aquele para quem o seguinte é tão óbvio quanto dois mais dois igual a quatro" -- Lorde Kelvin.

1. Comece com a definição de densidade de probabilidade Para qualquer variável aleatória contínua com densidade f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 Por definição. Isso não é um teorema — é o que significa densidade de probabilidade. 2. A distribuição normal é definida usando e^{-x^2} A densidade normal padrão é \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Essa constante \frac{1}{\sqrt{2\pi}} não é arbitrária. Ele é escolhido de modo que a probabilidade total seja igual a 1. Então, automaticamente: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Multiplique ambos os lados por \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Resumir para x

A integral Gaussiana é "óbvia" quando você pensa em termos de probabilidade. A distribuição normal deve integrar a 1, e sua densidade é apenas um e^{-x^2} escalado.