"Un matematico è colui per il quale quanto segue è ovvio quanto due più due fa quattro" -- Lord Kelvin.

1. Inizia con la definizione di una densità di probabilità Per qualsiasi variabile casuale continua con densità f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 per definizione. Non è un teorema — è ciò che significa densità di probabilità. 2. La distribuzione normale è definita usando e^{-x^2} La densità normale standard è \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Questa costante \frac{1}{\sqrt{2\pi}} non è arbitraria. È scelta in modo che la probabilità totale sia uguale a 1. Quindi automaticamente: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Moltiplica entrambi i lati per \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Riassumi per x

L'integrale gaussiano è "ovvio" una volta che pensi in termini di probabilità. La distribuzione normale deve integrarsi a 1, e la sua densità è semplicemente un e^{-x^2} scalato.