"Um matemático é aquele a quem o seguinte é tão óbvio quanto dois mais dois são quatro" -- Lord Kelvin.

1. Comece com a definição de uma densidade de probabilidade Para qualquer variável aleatória contínua com densidade f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 por definição. Isso não é um teorema — é o que significa densidade de probabilidade. 2. A distribuição normal é definida usando e^{-x^2} A densidade normal padrão é \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Esta constante \frac{1}{\sqrt{2\pi}} não é arbitrária. É escolhida para que a probabilidade total seja igual a 1. Portanto, automaticamente: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Multiplique ambos os lados por \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Resuma para x

A integral gaussiana é "óbvia" uma vez que você pensa em termos de probabilidade. A distribuição normal deve integrar a 1, e sua densidade é apenas um e^{-x^2} escalado.