"Un matemático es aquel para quien lo siguiente es tan obvio como dos más dos igual a cuatro" -- Lord Kelvin.

1. Empieza con la definición de densidad de probabilidad Para cualquier variable aleatoria continua con densidad f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 Por definición. Eso no es un teorema: es lo que significa densidad de probabilidad. 2. La distribución normal se define usando e^{-x^2} La densidad normal estándar es \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Esta constante \frac{1}{\sqrt{2\pi}} no es arbitraria. Se elige de modo que la probabilidad total sea igual a 1. Así que automáticamente: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Multiplica ambos lados por \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Resume para x

La integral gaussiana es "obvia" si piensas en términos de probabilidad. La distribución normal debe integrarse a 1, y su densidad es simplemente una e^{-x^2} escalada.