Tóm tắt những _thông tin_ hữu ích chính cho đám đông giải thích cơ chế: Phân phối khoảng cách là một chẩn đoán rẻ tiền cho hình học đã học. Cho một không gian đại diện, biểu đồ khoảng cách giữa các điểm được lấy mẫu ngẫu nhiên là một dấu vân tay hình học mạnh mẽ. Các hình học khác nhau—Euclide, hình cầu, siêu phẳng—và các hình thái khác nhau—hạn chế so với chu kỳ—sản xuất ra các phân phối khoảng cách khác biệt rõ rệt, ngay cả ở kích thước vừa phải. Những dấu hiệu này phát sinh từ sự tập trung của phép đo, hiệu ứng biên và độ cong, và chúng rất bền vững trước tiếng ồn. Đề xuất chính là coi các biểu đồ khoảng cách không phải là những điều kỳ lạ, mà là những công cụ pháp y để tìm hiểu hình học mà một đại diện đã học đang sử dụng một cách ngầm. Hình thái quan trọng độc lập với độ cong. Một torus phẳng n và một khối lập phương n chiều chia sẻ cùng một hình học Euclide cục bộ, nhưng các phân phối khoảng cách của chúng khác biệt đáng kể. Torus loại bỏ các hiệu ứng biên, dẫn đến khoảng cách trung bình thấp hơn và sự tập trung chặt chẽ hơn (~0.289√n) so với khối lập phương (~0.408√n). Những khác biệt này tồn tại và sắc nét hơn với kích thước. Điều này cho thấy rằng nhiều "bệnh lý chiều cao" được quy cho chiều kích đơn thuần thực ra là các hiện tượng do điều kiện biên—một sự phân biệt hiếm khi được làm rõ trong thực hành ML. Các bất thường ở chiều thấp phơi bày các cơ chế hình học. Trong các chiều thấp, các phân phối khoảng cách tiết lộ cấu trúc không Gaussian gắn liền trực tiếp với hình học. Ví dụ, torus phẳng 2D thể hiện một đỉnh có thể tích hợp tại khoảng cách tối đa do các ràng buộc góc trong hình vuông tọa độ được bọc. Điều này biến mất nhanh chóng với kích thước khi sự tập trung chiếm ưu thế. Những đặc điểm như vậy không phải là tiếng ồn số; chúng là hệ quả phân tích của hình học. Việc thấy (hoặc không thấy) những hiện tượng này trong các nhúng đã học cung cấp thông tin về chiều hiệu quả và cấu trúc độc lập của các không gian đại diện. Ứng dụng giải thích: pháp y không gian nhúng. Khi có một mô hình đã được đào tạo, người ta có thể chọn các tập hợp nhúng có ý nghĩa ngữ nghĩa (ví dụ: thực thể địa lý, phân loại, cảm xúc, khái niệm tạm thời) và tính toán các biểu đồ khoảng cách giữa chúng. So sánh các biểu đồ này với các dự đoán lý thuyết cho phép suy luận về hình học mà mô hình đã học cho miền đó. Các dấu hiệu hình cầu sẽ gợi ý các đại diện dạng góc hoặc dạng đa tạp; các dấu hiệu siêu phẳng sẽ gợi ý cấu trúc phân cấp; các dấu hiệu Euclide hoặc toroidal sẽ gợi ý các không gian tương đồng phẳng có hoặc không có hiện tượng biên. Hệ quả: các đại diện đã học có khả năng là hình học hỗn hợp. Hầu hết các công việc hiện tại giả định một hình học toàn cầu duy nhất (thường là Euclide hoặc siêu phẳng). Phương pháp biểu đồ tự nhiên tổng quát hóa cho các hình học hỗn hợp, nơi các không gian ngữ nghĩa khác nhau thể hiện các độ cong hoặc hình thái khác nhau. Điều này gợi ý một con đường hướng tới các đại diện rõ ràng về kiến trúc, nhận thức về hình học, nơi hình học là một tham số thiết kế thay vì một tai nạn phát sinh—và nơi các công cụ giải thích có thể xác định loại cấu trúc mà một mô hình đã học, không chỉ là nơi thông tin tồn tại. Tóm tắt. Các biểu đồ khoảng cách là những công cụ đơn giản, nhanh chóng và có cơ sở lý thuyết giúp phơi bày độ cong, hình thái và chiều hiệu quả trong các đại diện đã học. Chúng cung cấp một chẩn đoán ở cấp độ hình học bổ sung cho khả năng giải thích ở cấp độ neuron và mạch, và chúng gợi ý các thí nghiệm cụ thể để kiểm tra cách mà các mô hình tổ chức nội bộ các loại kiến thức khác nhau.