Oto ważne pytanie, z którym musimy się coraz częściej zmagać, gdy pipeline'y AI do matematyki stają się coraz bardziej powszechne: Dlaczego zależy nam na rozwiązywaniu trudnych problemów? Prawie zawsze odpowiedź brzmi *nie* dlatego, że szczególnie chcemy, aby trudny problem został rozwiązany. (1/12)

Pytania takie jak istnienie globalnie gładkich rozwiązań równań Naviera-Stokesa są interesujące matematycznie nie dlatego, że odpowiedź sama w sobie jest strasznie ważna, ale dlatego, że mamy powody, by wierzyć, że proces *odkrywania* odpowiedzi jest bardzo prawdopodobny... (2/12)

...aby uzyskać głębokie nowe spostrzeżenia w analizie, PDE, dynamice płynów itp., z nowymi technikami do wykorzystania. Rozwiązanie problemu Fermata dało nam (pośrednio) program Langlandsa. Rozwiązanie problemu Poincaré'a dało nam przepływ Ricciego. Mamy nadzieję, że rozwiązanie równań Naviera-Stokesa przyniesie coś równie monumentalnego. (3/12)

Rzeczywiście, identyfikujemy takie problemy jako "interesująco trudne" właśnie dlatego, że intuicyjnie czujemy, że reprezentują one "lukę" w naszym obecnym zrozumieniu i metodach. Dlatego właśnie szaleńcy, którzy twierdzą, że rozwiązują (powiedzmy) hipotezę Riemanna za pomocą "sztuczek" lub metod elementarnych... (4/12)

...w pewnym sensie umykają sednu sprawy: jeśli jeden z tych dużych problemów okazałby się rozwiązywalny wyłącznie przy użyciu istniejących matematycznych spostrzeżeń i technologii, byłoby to ogromne rozczarowanie: źródło, które wcześniej myśleliśmy, że tryska, w rzeczywistości jest suche. (5/12)

Co to ma wspólnego z AI? Cóż, jeśli przyjmiemy założenie, że trudne problemy są głównie interesujące z powodu nowych spostrzeżeń i zrozumienia, jakie dostarczają, rodzi to pytanie (w świetle rozwoju AI): kto jest odpowiedzialny za część "zrozumienia"? (6/12)

Weź dowody przez wyczerpanie (jak w przypadku twierdzenia o czterech kolorach), które od dawna uważane są za kontrowersyjne, ponieważ dostarczają część "epistemicznej pewności" dowodu, niekoniecznie dostarczając żadnej z części "wglądu" (co zazwyczaj nas interesuje) (7/12)

W związku z tym dowody przez wyczerpanie z pewnością nie są "błędne", ale w pewnym sensie są "oszustwem" lub może "samoobroną": zamykają potencjalnie owocowy problem, jednocześnie pomijając dokładnie te aspekty matematyki, które czynią ją interesującą i wartą zachodu. (8/12)

Uważam, że dowody generowane przez AI, w przypadku braku jakiegokolwiek poziomu zrozumienia lub wglądu ze strony człowieka, który je wygenerował, powinny być traktowane w podobny sposób. Jeśli automatycznie generujesz dowód Lean dla dużego twierdzenia, to świetnie! Ale dlaczego to zrobiłeś? (9/12)

Jeśli nie rozumiesz nowych spostrzeżeń/metod, które zawiera dowód, to wszystko, co zrobiłeś, to przeniesienie intelektualnego ciężaru z siebie na kogoś, kto jest gotów to przeczytać i zrozumieć (i, miejmy nadzieję, przekazać zawarte w nim spostrzeżenia innym). (10/12)

Matematyka jest ostatecznie ludzkim artefaktem kulturowym (prawdopodobnie naszym najgłębszym, najbogatszym i najstarszym). Rozwiązywanie trudnych problemów miało być jedynie *proxy* dla rozszerzania tego artefaktu. AI sprawia, że ekscytująco łatwo jest generować nowe ścieżki zrozumienia matematycznego.. (11/12)

...w obrębie tego artefaktu, ale także ułatwia osiągnięcie proxy (tj. rozwiązywanie trudnych problemów), jednocześnie pomijając cały powód, dla którego nam na tym zależało na początku (tj. pogłębianie naszej wiedzy). Proszę, nie rób tego. (12/12)