Her er et viktig spørsmål som vi må forholde oss til i økende grad etter hvert som AI-for-matematikk-pipelines blir mer vanlige: Hvorfor bryr vi oss om å løse vanskelige problemer? Nesten alltid er svaret *ikke* fordi vi spesielt ønsker at det vanskelige problemet skal løses. (1/12)

Spørsmål som eksistensen av globalt glatte løsninger til Navier-Stokes-ligningene er av matematisk interesse, ikke fordi svaret i seg selv er svært viktig, men fordi vi har grunn til å tro at prosessen med å *oppdage* svaret er svært sannsynlig... (2/12)

... å gi dype nye innsikter i analyse, PDE-er, fluiddynamikk osv., med nye teknikker å utnytte. Solving Fermat ga oss (indirekte) Langlands-programmet. Å løse Poincaré ga oss Ricci-flyt. Man håper å løse Navier-Stokes gir oss noe like monumentalt. (3/12)

Faktisk identifiserer vi slike problemer som «interessant vanskelige» nettopp fordi vi intuitivt fornemmer at de representerer et «gap» i vår nåværende forståelse og metoder. Dette er grunnen til at sprøinger som hevder å løse (for eksempel) Riemann-hypotesen ved hjelp av «triks» eller elementære metoder... (4/12)

... misforstår noe poenget: hvis et av disse store problemene viste seg å kunne løses kun ved hjelp av eksisterende matematiske innsikter og teknologi, ville det vært en enorm skuffelse: en kilde vi tidligere trodde fosset ut, er faktisk tørr. (5/12)

Hva har dette med AI å gjøre? Vel, hvis man aksepterer premisset om at vanskelige problemer stort sett er interessante på grunn av de nye innsiktene og forståelsene de gir, reiser det spørsmålet (i lys av AI-utviklingen): hvem har ansvaret for «forståelsen»? (6/12)

Ta bevis ved utmattelse (som i firefargeteoremet), som lenge har blitt ansett som noe kontroversielle, fordi de leverer «epistemisk sikkerhet»-delen av et bevis, uten nødvendigvis å gi noe av «innsikt»-delen (som vanligvis er det vi bryr oss om) (7/12)

Som sådan er bevis ved utmattelse absolutt ikke «feil», men de er på en måte «juks», eller kanskje «selvdestruktiv»: de stenger et potensielt fruktbart problem, samtidig som de utelater nettopp de aspektene ved matematikken som gjør det interessant og verdt å gjøre. (8/12)

Jeg mener at AI-genererte bevis, i fravær av noen form for forståelse eller innsikt fra mennesket som laget dem, bør betraktes på samme måte. Hvis du automatisk genererer et Lean-bevis for et stort teorem, er det flott! Men hvorfor gjorde du det? (9/12)

Hvis du ikke forstår de nye innsiktene/metodene beviset inneholder, har du bare flyttet den intellektuelle byrden bort fra deg selv og over på den som er villig til å lese og forstå det (og forhåpentligvis kommunisere innsiktene til andre). (10/12)

Matematikk er til syvende og sist et menneskelig kulturelt artefakt (sannsynligvis vårt dypeste, rikeste og eldste). Å løse vanskelige problemer skulle bare være en *proxy* for å utvide den artefakten. AI gjør det spennende enkelt å generere nye veier for matematisk forståelse.. (11/12)

... Innenfor det artefaktet, men det gjør det også lettere enn noen gang å oppnå proxyen (dvs. løse vanskelige problemer), samtidig som hele grunnen til at vi brydde oss i utgangspunktet (altså utdyper vår forståelse). Vær så snill, ikke gjør det. (12/12)