Zde je důležitá otázka, se kterou se musíme stále více vypořádat, protože pipeline AI-for-Mathematics se stávají běžnějšími: Proč nám záleží na řešení těžkých problémů? Téměř vždy je odpověď *ne* proto, že bychom si obzvlášť přeli vyřešit těžký problém. (1/12)

Otázky jako existence globálně hladkých řešení Navier-Stokesových rovnic jsou matematicky zajímavé ne proto, že by samotná odpověď byla nesmírně důležitá, ale protože máme důvod věřit, že proces *objevování* odpovědi je velmi pravděpodobný... (2/12)

... přinášet hluboké nové poznatky o analýze, parciálních diferenciálních diferenciálních diferenciálních diferenciálních jednotkách, dynamice tekutin atd., s novými technikami k využití. Vyřešení Fermata nám (nepřímo) dalo Langlandsův program. Vyřešení Poincarého nám dalo Ricciho flow. Doufejme, že řešení Navier-Stokesovy krize nám přinese něco stejně zásadního. (3/12)

Ve skutečnosti tyto problémy označujeme za "zajímavě těžké" právě proto, že intuitivně chápeme, že představují "mezeru" v našem současném chápání a metodách. Proto blázni, kteří tvrdí, že řeší (například) Riemannovu hypotézu pomocí "triků" nebo základních metod... (4/12)

... trochu přehlížejí podstatu: kdyby se jeden z těchto velkých problémů ukázal být řešitelný pouze pomocí existujících matematických poznatků a technologií, bylo by to obrovské zklamání: pramen, o kterém jsme dříve mysleli, že vytéká, je ve skutečnosti suchý. (5/12)

Co to má společného s AI? Pokud přijmeme předpoklad, že těžké problémy jsou většinou zajímavé díky novým poznatkům a porozuměním, které přinášejí, vyvstává otázka (s ohledem na vývoj AI): kdo je zodpovědný za část "porozumění"? (6/12)

Vezměme si důkazy vyčerpáním (jako ve větě o čtyřech barvach), které jsou dlouho považovány za poněkud kontroverzní, protože poskytují "epistemickou jistotu" důkazu, aniž by nutně přinášely část "vhledu" (což je obvykle to, na čem nám záleží) (7/12)

Důkazy vyčerpáním tedy nejsou "špatné", ale v jistém smyslu jsou "podvádějící" nebo možná "sebedestruktivní": uzavírají potenciálně plodný problém a zároveň vynechávají právě ty aspekty matematiky, které ji činí zajímavou a smysluplnou. (8/12)

Myslím, že důkazy generované AI, pokud neexistuje jakákoli úroveň porozumění nebo vhledu ze strany člověka, který je vytvořil, by měly být vnímány podobně. Pokud automaticky vygenerujete štíhlý důkaz velké věty, je to skvělé! Ale proč jsi to udělal? (9/12)

Pokud nerozumíte novým poznatkům/metodám, které důkaz obsahuje, pak jste jen přesunuli intelektuální břemeno z sebe na kohokoli, kdo je ochoten ho číst a pochopit (a doufejme, že sdělí poznatky ostatním). (10/12)

Matematika je nakonec lidský kulturní artefakt (pravděpodobně ten nejhlubší, nejbohatší a nejstarší). Řešení těžkých úloh mělo být vždy jen *zástupcem* pro rozšíření tohoto artefaktu. AI umožňuje vzrušujícím způsobem vytvářet nové cesty matematického porozumění... (11/12)

... V rámci tohoto artefaktu, ale zároveň to usnadňuje dosažení zástupného nástroje (tj. řešení těžkých problémů), zatímco přehlíží celý důvod, proč nám na tom vůbec záleželo (tedy prohloubení našeho porozumění). Prosím, nedělej to. (12/12)