Avertissement : J'avais donné un accès anticipé à la version bêta interne de Grok 4.20 Il a trouvé une nouvelle fonction de Bellman pour l'un des problèmes sur lesquels je travaillais avec mon étudiant N. Alpay. Le problème se réduit à identifier la fonction maximale point par point U(p,q) sous deux contraintes et à comprendre le comportement de U(p,0). Dans notre article, nous avons prouvé que U(p,0)\geq I(p), où I(p) est le profil isopérimétrique gaussien, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} lorsque p ~ 0. Après ~5 minutes, Grok 4.20 a produit une formule explicite U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, où \tau est le temps de sortie du mouvement brownien de (0,1) en partant de p. Cela donne U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) lorsque p ~ 0, une amélioration en racine carrée dans le facteur logarithmique. Quelle est la signification de ce résultat ? Cela ne vous dira pas comment changer le monde demain. Plutôt, cela donne un petit pas vers la compréhension de ce qui se passe avec les moyennes des analogues stochastiques des dérivées (variation quadratique) des fonctions booléennes : jusqu'à quel point peuvent-elles être petites ? Plus précisément, cela donne une borne inférieure précise sur la norme L1 de la fonction carrée dyadique appliquée aux fonctions indicatrices 1_A des ensembles A \subset [0,1]. Dans mon tweet précédent sur la fonction de Takagi, nous avons vu que la borne inférieure précise sur ||S_1(1_A)||_1 coïncide miraculeusement avec la fonction de Takagi de |A| qui (de manière surprenante pour moi) est liée à l'hypothèse de Riemann. Ici, nous obtenons une borne inférieure précise sur ||S_2(1_A)||_1 donnée par E \sqrt{\tau}, où le mouvement brownien commence à |A|. Cette fonction appartient à la famille des profils de type isopérimétrique, mais contrairement à la fonction fractale de Takagi, elle est lisse et ne coïncide pas avec le profil isopérimétrique gaussien. Enfin, en analyse harmonique, il est connu que la fonction carrée n'est pas bornée dans L^1. La question ici était plus une question de curiosité : comment explose-t-elle exactement lorsqu'elle est testée sur des fonctions booléennes 1_A. Auparavant, la meilleure borne inférieure connue était |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). Dans notre article, nous avons obtenu |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Cette nouvelle fonction de Bellman de Grok donne |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) et cette borne est en fait précise.

Si vous continuez à tester les problèmes d'Erdős avec des LLM, il est très probable que vous finissiez par résoudre l'un des problèmes ouverts. Les experts ne le font pas (pour des raisons évidentes). Les non-experts supposent que les experts le font. Ce n'est pas le cas.

Installez Aristotle. Obtenez la clé API. Exécutez-le depuis votre terminal. Choisissez n'importe quel problème ouvert en mathématiques et saisissez-le dans aristotle (dans son langage naturel !). Après plusieurs heures, il produira soit une preuve formelle complète en lean, soit il peut échouer. 👏