Grok 4.20 (Beta) îmbunătățește limita inferioară cu 9,1% pe perimetrul gaussian al mulțimilor convexe în două minute. Acest lucru mi-a fost subliniat de Xinyuan Xie. Încă din 1993, Keith Ball a arătat că perimetrul gaussian al unui corp convex în spațiul euclidian n-dimensional este delimitat de sus de 4n^{1/4}. În ceea ce privește limita inferioară, Ball a arătat că pentru un cub (de dimensiune adecvată) perimetrul poate crește ca \sqrt{\log(n)}. Astfel, a existat o pauză pentru o vreme în ceea ce privește care limită este ascuțită, până în 2003, când, într-o lucrare frumoasă, Fedor Nazarov a arătat că, la exemplul unui poliedru aleator (intersecția multor semispații aleatorii), limita inferioară poate crește ca C n^{1/4}, cu C=\exp(-5/4)=0,286.... În plus, Nazarov a îmbunătățit constanta 4 în limita superioară (înlocuind-o cu 0,64) când n este mare. Aceste limite au rămas neînvinse până de curând, când în 2019 Martin Raic a reușit să îmbunătățească factorul constant al limitei superioare de la 0,64 la 0,59. Grok 4.20 (Beta), prin optimizarea mai atentă a construcției lui Nazarov, a reușit să îmbunătățească constanta limitei inferioare de la 0,286 la 0,3126. Mi se pare surprinzător, chiar dacă doar se joacă cu tehnicile lucrării lui Nazarov, pentru că foarte recent Nadimpalli--Pascale (2025) a publicat un preprint în care, cu o abordare diferită, au recuperat limita inferioară a lui Nazarov cu același factor constant 0,286.... Grok a fost foarte generos în răspunsul său: a spus că îmbunătățirea pe care a oferit-o urmează același argument al lui Nazarov "linie cu linie", în timp ce când am întrebat alte modele (în afară de Grok) să verifice afirmația lui Grok, au fost de acord cu totul, cu excepția acestei părți; Ei au spus că îmbunătățirea nu este cu adevărat "linie cu linie" :D. În final, nu aș spune că Nazarov a ratat această îmbunătățire. Cunoscându-l de mult timp, sunt destul de sigur că este obișnuit să sacrifice constante optime pentru eleganța algebrică. De ce este totul interesant? Controlul asupra perimetrului gaussian permite controlul cozilor Fourier ale funcțiilor caracteristice ale acestor mulțimi, ceea ce duce la controlul complexității temporale a învățării PAC și a algoritmilor de învățare agnostici pentru această familie (vezi Klivans--O'Donnell--Servedio). Referințe: Link de chat cu Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Problema izoperimetrică inversă pentru măsura gaussiană. Geometrie discretă și computațională, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell și Rocco A Servedio. Învățarea conceptelor geometrice prin suprafața gaussiană. În Proc. 49th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), paginile 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Pe perimetrul gaussian maxim al mulțimilor convexe, revizitat. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Pe perimetrul maxim al unei mulțimi convexe în R^n față de o măsură gaussiană. În Geometric Aspects of Functional Analysis (2001-2002), paginile 169–187. Note de curs în matematică, Volumul 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. O teoremă Berry–Esseen multivariată cu constante explicite. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853