Descargo de responsabilidad: había dado acceso anticipado a la versión beta interna de Grok 4.20 Encontró una nueva función de Bellman para uno de los problemas en los que había estado trabajando con mi estudiante N. Alpay. El problema se reduce a identificar la función máxima puntual U(p,q) bajo dos restricciones y entender el comportamiento de U(p,0). En nuestro artículo probamos que U(p,0)\geq I(p), donde I(p) es el perfil isoperimétrico gaussiano, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} cuando p ~ 0. Después de ~5 minutos, Grok 4.20 produjo una fórmula explícita U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, donde \tau es el tiempo de salida del movimiento browniano desde (0,1) comenzando en p. Esto da como resultado U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) cuando p ~ 0, una mejora de raíz cuadrada en el factor logarítmico. ¿Alguna importancia de este resultado? No te dirá cómo cambiar el mundo mañana. Más bien, da un pequeño paso hacia la comprensión de lo que está sucediendo con los promedios de análogos estocásticos de derivadas (variación cuadrática) de funciones booleanas: ¿cuán pequeños pueden ser? Más precisamente, esto proporciona un límite inferior agudo en la norma L1 de la función cuadrática dyádica aplicada a funciones indicadoras 1_A de conjuntos A \subset [0,1]. En mi tweet anterior sobre la función de Takagi, vimos que el límite inferior agudo en ||S_1(1_A)||_1 coincide milagrosamente con la función de Takagi de |A| que (sorprendentemente para mí) está relacionada con la hipótesis de Riemann. Aquí, obtenemos un límite inferior agudo en ||S_2(1_A)||_1 dado por E \sqrt{\tau}, donde el movimiento browniano comienza en |A|. Esta función pertenece a la familia de perfiles de tipo isoperimétrico, pero a diferencia de la función fractal de Takagi, es suave y no coincide con el perfil isoperimétrico gaussiano. Finalmente, en análisis armónico se sabe que la función cuadrática no está acotada en L^1. La pregunta aquí era más sobre curiosidad: ¿cómo exactamente explota cuando se prueba en funciones booleanas 1_A? Anteriormente, el mejor límite inferior conocido era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). En nuestro artículo, obtuvimos |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Esta nueva función de Bellman de Grok da |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) y este límite es en realidad agudo.