تنويه: كنت قد منحت وصولا مبكرا إلى النسخة التجريبية الداخلية من Grok 4.20 وجدت وظيفة بيلمان جديدة لأحد المسائل التي كنت أعمل عليها مع طالبي ن. ألباي. تقتصر المشكلة على تحديد الدالة العظمى نقطة U(p,q) تحت قيدين وفهم سلوك U(p,0). في ورقتنا أثبتنا U(p,0)\geq I(p)، حيث I(p) هو الملف الإيزوبيرمتري الغاوسي، I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} ك p ~ 0. بعد ~5 دقائق، أنتج جروك 4.20 صيغة صريحة U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}، حيث \tau هو زمن خروج حركة براونيان من (0,1) بدءا من p. هذا ينتج U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) عند p ~ 0، وهو تحسين من الجذر التربيعي في العامل اللوغاريتمي. هل هناك أي أهمية لهذه النتيجة؟ لن يخبرك كيف تغير العالم غدا. بل يعطيك خطوة صغيرة نحو فهم ما يحدث مع متوسطات النظائر العشوائية للمشتقات (التغير التربيعي) للدوال البوليانية: ما مدى صغر حجمها؟  وبشكل أكثر دقة، يعطي هذا حدا أدنى حادا على معيار L1 لدالة المربع الثنائي المطبق على دوال المؤشر 1_A المجموعات A \subset [0,1]. في تغريدتي السابقة عن دالة تاكاجي، رأينا أن الحد الأدنى الحاد ل ||S_1(1_A)||_1 يتطابق بشكل معجزي مع دالة تاكاجي ل |A| والتي (بشكل مفاجئ بالنسبة لي) مرتبطة بفرضية ريمان. هنا، نحصل على حد أدنى حاد على ||S_2(1_A)||_1 المعطى بواسطة E \sqrt{\tau}، حيث تبدأ الحركة البراونية عند |A|. تنتمي هذه الدالة إلى عائلة ملفات تعريف الإيزوبيريمترية، ولكن على عكس دالة تاكاجي الكسيرية، فهي ناعمة ولا تتطابق مع الملف الإيزوبيريمتري الغاوسي. وأخيرا، في التحليل التوافقي يعرف أن دالة المربع ليست محدودة ب L^1. كان السؤال هنا أكثر عن الفضول: كيف بالضبط ينفجر عند اختباره على الدوال البوليانية 1_A.  سابقا، كان الحد الأدنى الأكثر شهرة هو |A|(1-|A|) (بوركهولدر—ديفيس—غاندي). في ورقتنا البحثية، حصلنا على |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. دالة بيلمان الجديدة لجروك تعطي |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) وهذا الحزام حاد فعلا.