Haftungsausschluss: Ich hatte frühzeitigen Zugang zur internen Beta-Version von Grok 4.20 gewährt. Es fand eine neue Bellman-Funktion für eines der Probleme, an denen ich mit meinem Studenten N. Alpay gearbeitet habe. Das Problem reduziert sich darauf, die punktweise maximale Funktion U(p,q) unter zwei Einschränkungen zu identifizieren und das Verhalten von U(p,0) zu verstehen. In unserem Papier haben wir bewiesen, dass U(p,0)\geq I(p), wobei I(p) das gaußsche isoperimetrische Profil ist, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} für p ~ 0. Nach ~5 Minuten produzierte Grok 4.20 eine explizite Formel U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, wobei \tau die Austrittszeit der Brownschen Bewegung von (0,1) ist, die bei p beginnt. Dies ergibt U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) für p ~ 0, eine Quadratwurzelverbesserung im logarithmischen Faktor. Hat dieses Ergebnis eine Bedeutung? Es wird Ihnen nicht sagen, wie Sie die Welt morgen verändern können. Vielmehr gibt es einen kleinen Schritt in Richtung Verständnis dessen, was mit den Durchschnitten stochastischer Analogien von Ableitungen (quadratische Variation) von Booleschen Funktionen geschieht: wie klein können sie sein? Genauer gesagt, gibt dies eine scharfe untere Schranke für die L1-Norm der dyadischen Quadratfunktion, die auf Indikatorfunktionen 1_A von Mengen A \subset [0,1] angewendet wird. In meinem vorherigen Tweet über die Takagi-Funktion haben wir gesehen, dass die scharfe untere Schranke für ||S_1(1_A)||_1 auf wundersame Weise mit der Takagi-Funktion von |A| übereinstimmt, die (überraschenderweise für mich) mit der Riemann-Hypothese verbunden ist. Hier erhalten wir eine scharfe untere Schranke für ||S_2(1_A)||_1, gegeben durch E \sqrt{\tau}, wobei die Brownsche Bewegung bei |A| beginnt. Diese Funktion gehört zur Familie der isoperimetrischen Typ-Profile, ist aber im Gegensatz zur fraktalen Takagi-Funktion glatt und stimmt nicht mit dem gaußschen isoperimetrischen Profil überein. Schließlich ist in der harmonischen Analyse bekannt, dass die Quadratfunktion in L^1 nicht beschränkt ist. Die Frage hier war mehr aus Neugier: Wie genau explodiert sie, wenn sie an Booleschen Funktionen 1_A getestet wird. Zuvor war die beste bekannte untere Schranke |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). In unserem Papier haben wir |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))} erhalten. Diese neue Bellman-Funktion von Grok gibt |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) und diese Schranke ist tatsächlich scharf.