Grok 4.20(ベータ)は、凸集合のガウス周囲の下限を2分で9.1%改善します。 これは謝新元から指摘されたことです。1993年にキース・ボールは、n次元ユークリッド空間における凸体のガウス周囲が上から4n^{1/4}で囲まれていることを示しました。下限については、Ballは適切なサイズの立方体に対して周囲長が\sqrt{\log(n)}で成長できることを示しました。そのため、どの境界が鋭いのかにギャップがありましたが、2003年にフェドール・ナザロフが美しい論文で、ランダム多面体(多くのランダム半空間の交点)の例で下限がC n^{1/4}、C=\exp(-5/4)=0.286で成長できることを示しました。さらに、ナザロフはnが大きい場合、上限の定数4を0.64に置き換えて改良しました。この境界は最近まで破られず、2019年にマーティン・ライクが上限定数係数を0.64から0.59に改善することに成功しました。 Grok 4.20(Beta)は、ナザロフの構成をより慎重に最適化することで、下限定数を0.286から0.3126に改善することに成功しました。これはナザロフの論文の手法を踏襲しているだけでも驚きです。なぜなら、最近Nadimpalli--Pascale(2025)が異なるアプローチで同じ定数係数0.286でナザロフの下限を復元したプレプリントを発表しているからです。 Grokは非常に寛大な回答を示しました。提供した改良はNazarovの「行ごとの」議論と同じものであると述べましたが、私がGrok以外の他のモデルにGrokの主張を検証してもらったところ、この部分以外はすべて同意しました。改善は「一行一行」の:Dではないと言われました。 最後に、ナザロフがこの改善を見逃したとは言えません。長年知っている彼から、代数的な優雅さのために最適定数を犠牲にするのはよくあることだと私はかなり確信しています。 なぜこれが興味深いのでしょうか?ガウス周囲を制御することで、これらの集合の特徴関数のフーリエ尾を制御でき、このファミリーのPAC学習およびアグノスティック学習アルゴリズムの時間計算量を制御することが可能になります(Klivans--O'Donnell--Servedio参照)。 参考文献: Grok 4.20(ベータ版)とのチャットリンク。 キース・ボール。ガウス測度の逆等周問題。離散幾何学および計算幾何学、10巻:411–420、1993年。 アダム・クリバンズ、ライアン・オドネル、ロッコ・A・セルヴェディオ。ガウス表面積を通じて幾何学的概念を学ぶこと。第49回IEEEコンピュータサイエンスの基礎シンポジウム(FOCS)論文集、541–550ページ、2008年。 シヴァム・ナディンパリ、ケイレブ・パスカル。凸集合の最大ガウス周囲について、再検討。プレプリント(2025年) フェドール・ナザロフ。ガウス測度に関してR^nの凸集合の最大周長上。『関数解析の幾何学的側面』(2001-2002年)169–187ページに収録。数学講義ノート 第1807巻、シュプリンガー、2003年 マーティン・ライツ。明示的な定数を持つ多変量ベリー–エッシーン定理。ベルヌーイ 25巻(4A)、2019年、2824–2853頁