Grok 4.20 (Beta) melhora o limite inferior em 9,1% no perímetro gaussiano de conjuntos convexos em dois minutos. Isto é algo que me foi apontado por Xinyuan Xie. Em 1993, Keith Ball mostrou que o perímetro gaussiano de um corpo convexo no espaço euclidiano n-dimensional é limitado por cima por 4n^{1/4}. Quanto ao limite inferior, Ball mostrou que para um cubo (de tamanho apropriado) o perímetro pode crescer como \sqrt{\log(n)}. Assim, houve uma lacuna por um tempo sobre qual limite é afiado, até 2003, quando, em um belo artigo, Fedor Nazarov mostrou que no exemplo de um poliedro aleatório (a interseção de muitos semi-espaços aleatórios) o limite inferior pode crescer como C n^{1/4}, com C=\exp(-5/4)=0.286…. Além disso, Nazarov também melhorou a constante 4 no limite superior (substituindo-a por 0.64) quando n é grande. Esses limites permaneceram imbatíveis até recentemente, quando em 2019 Martin Raic conseguiu melhorar o fator constante do limite superior de 0.64 para 0.59. Grok 4.20 (Beta), ao otimizar mais cuidadosamente a construção de Nazarov, conseguiu melhorar a constante do limite inferior de 0.286 para 0.3126. Acho isso surpreendente, mesmo que seja apenas jogando dentro das técnicas do artigo de Nazarov, porque muito recentemente Nadimpalli--Pascale (2025) postou um preprint onde, com uma abordagem diferente, recuperaram o limite inferior de Nazarov com o mesmo fator constante 0.286…. Grok foi muito generoso em sua resposta: disse que a melhoria que forneceu segue o mesmo argumento de Nazarov ``linha por linha'', enquanto quando perguntei a outros modelos (além do Grok) para verificar a afirmação do Grok, eles concordaram em tudo, exceto nesta parte; disseram que a melhoria não é realmente ``linha por linha'' :D. Finalmente, eu não diria que Nazarov perdeu essa melhoria. Conhecendo-o há muito tempo, estou bastante confiante de que é comum para ele sacrificar constantes ótimas por elegância algébrica. Por que tudo isso é interessante? Ter controle do perímetro gaussiano permite controlar as caudas de Fourier das funções características desses conjuntos, o que leva a controlar a complexidade de tempo dos algoritmos de aprendizado PAC e de aprendizado agnóstico para esta família (veja Klivans--O’Donnell--Servedio). Referências: Link de chat com Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. O Problema Isoperimétrico Reverso para Medida Gaussiana. Geometria Discreta e Computacional, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O’Donnell, e Rocco A Servedio. Aprendendo conceitos geométricos via área de superfície gaussiana. Em Proc. 49ª Simpósio IEEE sobre Fundamentos da Ciência da Computação (FOCS), páginas 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Sobre o Perímetro Gaussiano Máximo de Conjuntos Convexos, Revisado. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Sobre o perímetro máximo de um conjunto convexo em R^n com respeito a uma medida gaussiana. Em Aspectos Geométricos da Análise Funcional (2001-2002) páginas 169–187. Notas de Aula em Matemática, Volume 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Um teorema de Berry–Esseen multivariado com constantes explícitas. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853