Grok 4.20 (Beta) zlepšuje dolní mez o 9,1 % na Gaussově obvodu konvexních množin za dvě minuty. Na to mi upozornil Xinyuan Xie. Už v roce 1993 Keith Ball ukázal, že Gaussův obvod konvexního tělesa v n-rozměrném eukleidovském prostoru je shora omezen 4n^{1/4}. Co se týče dolní meze, Ball ukázal, že pro krychli (odpovídající velikosti) může obvod růst jako \sqrt{\log(n)}. Takže nějakou dobu existovala mezera v tom, která hranice je ostrá, až do roku 2003, kdy Fedor Nazarov v krásném článku ukázal, že na příkladu náhodného mnohoúhelníku (průniku mnoha náhodných poloprostorů) může dolní mez růst jako C n^{1/4}, přičemž C=\exp(-5/4)=0,286.... Kromě toho Nazarov také zlepšil konstantu 4 v horní mezi (nahradil ji 0,64), když je n velké. Tyto hranice zůstaly nepřekonané až do nedávna, kdy v roce 2019 Martin Raic dokázal zlepšit faktor horní hranice konstanty z 0,64 na 0,59. Grok 4.20 (Beta) díky pečlivější optimalizaci Nazarovovy konstrukce dokázal zlepšit dolní mezní konstantu z 0.286 na 0.3126. Přijde mi to překvapivé, i když to jen hraje v rámci technik Nazarovova článku, protože velmi nedávno Nadimpalli--Pascale (2025) zveřejnil preprint, kde jiným přístupem získali Nazarovovu dolní hranici se stejným konstantním faktorem 0,286.... Grok byl ve své odpovědi velmi štědrý: uvedl, že zlepšení, které poskytl, vychází ze stejného argumentu Nazarova "řádek po řádku", zatímco když jsem se ptal jiných modelů (kromě Groka), aby ověřily Grokovo tvrzení, souhlasily se vším kromě této části; Řekli, že zlepšení není skutečně "řádek po řádku" :D. Nakonec bych neřekl, že Nazarov toto zlepšení přehlédl. Znám ho dlouho, jsem si docela jistý, že je běžné, že obětuje optimální konstanty kvůli algebraické eleganci. Proč je to všechno zajímavé? Kontrola Gaussova obvodu umožňuje ovládat Fourierovy ocasy charakteristických funkcí těchto množin, což vede k ovládání časové složitosti PAC učení a agnostických algoritmů pro tuto rodinu (viz Klivans--O'Donnell--Servedio). Reference: Odkaz na chat s Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Reverzní izoperimetrický problém pro Gaussovu míru. Diskrétní a výpočetní geometrie, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell a Rocco A Servedio. Učení geometrických konceptů pomocí Gaussovy povrchové plochy. V Proc. 49th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), strany 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Na maximálním gaussovském obvodu konvexních množin, znovu prozkoumáno. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Na maximálním obvodu konvexní množiny v R^n vzhledem k Gaussově míře. V Geometric Aspects of Functional Analysis (2001–2002), strany 169–187. Přednáškové poznámky z matematiky, svazek 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Vícerozměrná Berry–Esseenova věta s explicitními konstantami. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853