不存在正整数使得 a^n + b^n = c^n 对于 n > 2。（费马大定理）如果这样的整数存在，它们将具有一个与椭圆曲线 y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 的模性质相矛盾的水平。这个证明和后量子加密使用了相同的同态概念。

也许我们可以享受的第一个惊喜是，如果直角三角形的面积 N (=ab/2) 是有理数 (€Q)，这就等同于说方程 y^2 = x^3 - N^2 x 有一个有理点 (x,y €Q)。你可以通过一个相当简单的变换来说明这一点。